A counter example.
Let $A = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Then, $det\bigl(\begin{smallmatrix} \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{bmatrix} + &\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{smallmatrix}\bigr)= det\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{pmatrix} = 1$
But, $det\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{pmatrix} + det\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{pmatrix} = 0+0 = 0$
Therefore, $det\begin{pmatrix} A +B \end{pmatrix} \neq det\begin{pmatrix} A \end{pmatrix} + det\begin{pmatrix} B \end{pmatrix}$