ISI2015-DCG-5

Question

If $$f(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ then the value of $\big(f(x)\big)^2$ is

• A. $f(x)$
• B. $f(2x)$
• C. $2f(x)$
• D. None of these

Answer 1

$(f(x))^2$

$= f(x)*f(x)$

$=\begin{bmatrix} cos \ x & -sin\ x &0 \\ sin\ x& cos \ x &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} cos \ x & -sin\ x &0 \\ sin\ x& cos \ x &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} cos^2\ x - sin^2\ x & -cos\ x \ sin\ x - sin \ x\ cos \ x & 0 \\ sin\ x \ cos \ x + cos \ x \ sin\ x& -sin^2\ x + cos^2 \ x &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} cos^2\ x - sin^2\ x &  - 2sin \ x\ cos \ x & 0 \\ 2sin\ x \ cos \ x & cos^2\ x-sin^2\ x  &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} cos \ 2x & -sin\ 2x &0 \\ sin\ 2x& cos \ 2x &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

$=f(2x)$

$\therefore$ Option $B.$ is correct.